Η ιστορία των μεθόδων επίλυσης προβλημάτων σχετικών με την τέχνη των αργυροχρυσοχόων

Ἡ διαχρονικότητα τῶν μεθόδων διδασκαλίας τῶν προβλημάτων τῆς Ἀργυροχρυσοχοΐας.

Aὐτοῦ τοῦ εἴδους τὰ προβλήματα ὑπῆρξαν ἐξαιρετικὰ δημοφιλὴ καὶ κατεῖχαν σημαντικὴ θέση στὴ μαθηματικὴ παιδεία ἀπὸ ἀρχαιοτάτων χρόνων. Μάλιστα ἡ διδασκαλία τους ἐλάμβανε χώρα ἀκόμα καὶ στὸ Βυζάντιο, μέχρι τὶς τελευταῖες δεκαετίες τῆς Βυζαντινῆς Αὐτοκρατορίας, ποὺ ἦταν χρόνια παρακμῆς καὶ φτώχιας[1]. Εἶναι προφανὴς ἡ χρησιμότητά τους στὴν ἀργυροχρυσοχοΐα καὶ μάλιστα τὴ νομισματοκοπεία, ἀφοῦ ἡ ἀξία τοῦ χρυσοῦ νομίσματος συνεχῶς ὑποτιμᾶτο. Ἀπὸ τὴν ἐποχὴ δὲ τοῦ αὐτοκράτορα Θεόφιλου (829-842 μ.Χ.) ἡ παραγωγὴ νομισμάτων στὴν Κωνσταντινούπολη, ἐνισχυόταν μὲ τὴ λειτουργία ἐπαρχιακῶν νομισματοκοπείων[2], δηλαδὴ ἡ δραστηριότητα κοπῆς νομισμάτων εἶχε ἐπεκταθεῖ σὲ πολλὰ μέρη τῆς Αὐτοκρατορίας.
Εἶναι λοιπὸν φυσικό, τὸ ἐνδιαφέρον τῶν Βυζαντινῶν γιὰ τὰ κράματα τῶν μετάλλων νὰ ἦταν αὐξημένο, καὶ λόγῳ τῶν συναλλαγῶν[3]. Τὸ ἴδιο ἐνδιαφέρον γιὰ τὶς συναλλαγὲς παρατηρεῖται καὶ στὴ Δύση, ὅπου τὸ ἐπάγγελμα τοῦ ἀργυραμοιβοῦ θεωρεῖτο ἕνα ἀπὸ τὰ σημαντικότερα[4].
Ἡ παράδοση αὐτῶν τῶν προβλημάτων ἔχει τὶς ρίζες της στὴν ἀρχαιότητα. Στὰ κείμενα τῶν ἑλλήνων ἀλχημιστῶν[5] ὑπῆρχαν συνταγές, οἱ ὁποῖες παραδίδονταν ἀπὸ γενιὰ σὲ γενιὰ στοὺς μεταλλουργοὺς καὶ τοὺς τεχνίτες τοῦ χρυσοῦ καὶ τοῦ χαλκοῦ. Αὐτὲς οἱ συνταγὲς περιλάμβαναν ὁδηγίες σχετικὰ μὲ τὴ συγκόλληση τῶν μετάλλων, τὴ βαφή, τὸν ἐξευγενισμό, τὸν καθαρισμό, τὴν παρασκευὴ κραμάτων, καθὼς καὶ τὸν ἔλεγχο τῆς καθαρότητάς τους, ἡ ὁποία μάλιστα θεωρεῖτο πρωταρχικὸ καθῆκον τῶν νομισματοκόπων.
Ἡ χρυσοποιία θεωρεῖτο "ἱερὰ καὶ θεία τέχνη" ἀνὰ τοὺς αἰῶνες. Στὶς αὐτοκρατορικὲς αὐλὲς, δάσκαλοι φιλόσοφοι δίδασκαν ἀκόμα καὶ τὸν ἴδιο τὸν αὐτοκράτορα. Στὴ δουλειὰ αὐτῶν τῶν δασκάλων στηρίζονταν οἱ Βυζαντινοὶ αὐτοκράτορες, ὥστε τὰ ἀνάκτορά τους νὰ συναγωνίζονται σὲ διακόσμηση τὰ ἀραβικὰ καὶ ἀργότερα τὰ δυτικά[6]. Τὰ ἀργυροπρατεῖα καὶ τὰ χρυσοχοϊκὰ ἐργαστήρια εὑρίσκονταν σὲ κεντρικὴ ὁδὸ τῆς Κωνσταντινούπολης, ἡ ὁποία κατέληγε στὴ Χαλκῆ τῶν ἀνακτόρων. Οἱ δὲ "χρυσοεψηταὶ" ξαλαγάριζαν τήκοντας τὸν χρυσὸ σὲ μικρὰ ὀστράκινα σκεύη. Σὲ Περσικὴ μάλιστα ἀνθολογία τοῦ 903 μ.Χ. ἀναφέρεται ὅτι ὁ Κωνσταντῖνος ὁ Ε΄ (741-775 μ.Χ. ) εἶχε μεταβάλει παρουσίᾳ τοῦ γραμματέα τοῦ χαλίφη al­Mansūr, μόλυβδο καὶ χαλκὸ σὲ ἄργυρο καὶ χρυσὸ μέσω μιᾶς στεγνῆς σκόνης (τὸ ξηρίον= ἐλιξήριον). Αὐτὸς ἦταν καὶ ὁ λόγος ποὺ παρακίνησε τὸν χαλίφη νὰ ἐνδιαφερθεῖ γιὰ τὴν ἀλχημεία[7].
Στὴ Δύση, τὸ θέμα τῶν κραμάτων τῶν μετάλλων ἦταν δημοφιλές, καὶ μπορεῖ νὰ βρεῖ κανεὶς τέτοιου εἴδους προβλήματα σὲ ἐργασίες διαφόρων ἐπιστημόνων τῆς τότε ἐποχῆς. Ἐνδεικτικὰ ἀναφέρουμε τὸ ἔργο Liber Abbaci τοῦ Φιμπονάτσι, στὸ ὁποῖο ὑπάρχουν προβλήματα αὐτῆς τῆς μορφῆς[8], καθὼς καὶ τὴν Ἀριθμητικὴ τοῦ Bamberg (1483 μ.Χ.)[9]. Γενικῶς τὰ προβλήματα κραμάτων καὶ μιγμάτων διδάσκονταν ἀνὰ τοὺς αἰῶνες. Χρονολογία σταθμὸς γιὰ τὴν ἐφαρμογή τους στὴν Φαρμακευτικὴ εἶναι τὸ ἔτος 1542 μ.Χ., ὅταν πρῶτος ὁ Recorde παρατήρησε, ὅτι τὰ προβλήματα μίξεως μποροῦν νὰ χρησιμοποιηθοῦν στὴ σύνθεση φαρμάκων. Ἀπὸ τότε τὸ θέμα ἔγινε δημοφιλὲς καὶ ὁ Baker (1568 μ.Χ.) ἀφιέρωσε 48 σελίδες σὲ βιβλίο του τὸ ὁποῖο ἐξέδωσε τὸ 1580 μ.Χ.[10].
Σημειωτέον, ὅτι στὴν Ἑλλάδα, ἕως τὰ μέσα περίπου τοῦ 20οῦ αἰώνα τὰ προβλήματα μίξεως καὶ κραμάτων ἀποτελοῦσαν μέρος τῆς ὕλης τοῦ μαθήματος τῆς πρακτικῆς ἀριθμητικῆς στὰ σχολεῖα τῆς πρωτοβάθμιας καὶ τὶς πρῶτες τάξεις τῆς δευτεροβάθμιας ἐκπαίδευσης, συνεχίζοντας μία ἀδιάσπαστη παράδοση αἰώνων, ἐφόσον οἱ ρίζες τους ἀνάγονται στὴν ἀρχαιότητα.
Στὴν Ἑλληνικὴ Βιενναία Μαθηματικὴ Πραγματεία (Tractatus Mathematicus Vindobonensis Graecus), ἕνα ἑλληνικὸ χειρόγραφο τοῦ 15ου αἰώνα μ.Χ. τὸ ὁποῖο προοριζόταν κυρίως γιὰ τη διδασκαλία, τὰ περισσότερα προβλήματα τῆς χρυσοποιίας ἀναφέρονται σὲ κράματα ἀσημιοῦ, καθὼς καὶ χρυσοῦ μὲ ἀσήμι καὶ χρησιμοποιοῦνται εἰδικὲς μονάδες βάρους γιὰ τὶς πολύτιμες ὕλες (μαργαριτάρια, χρυσός, ἀσήμι, χαλκός). Σὲ αὐτὸ τὸ Βυζαντινὸ χειρόγραφο βασικὴ μονάδα εἶναι ἡ λίτρα, ἡ ὁποία ἰσοδυναμεῖ συνήθως μὲ 12 οὐγγιές, μία οὐγγιὰ μὲ 6 στάγια ἢ ἑξάγια, καὶ τέλος τὸ ἕνα στάγιο μὲ 24 καράτια. Σημειωτέον, ὅτι ὅταν ὁ ἀνώνυμος συγγραφέας αὐτοῦ τοῦ χειρογράφου ἀναφέρεται στὸ "καθαρὸ ἀσήμι", ἐννοεῖ τὸ ἀσήμι τῶν 12 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα, ὅταν δὲ γράφει περὶ "φίνου καὶ τελείου μαλάγματος" ἐννοεῖ τὸν χρυσὸ τῶν 24 καρατίων.
Ἰδιαίτερο ἐνδιαφέρον παρουσιάζει τὸ εἶδος τῶν προβλημάτων ὅπου δὲν εἶναι γνωστὴ ἡ καθαρότητα τοῦ χρυσοῦ σὲ καράτια, τὸν ὁποῖο παίρνει κάποιος ὡς ἐνέχυρο. Αὐτὴ βρίσκεται μὲ τὸν ὑπολογισμὸ νέου κράματος, βάσει μιᾶς μεθόδου τὴν ὁποία ἐκθέτει ὁ συγγραφέας στὸ κεφάλαιο 113. Ὁ ἀνώνυμος συγγραφέας τοῦ χειρογράφου ἀναφέρει ἐπίσης μία μέθοδο γιὰ τὴν αὔξηση τῆς καθαρότητας ἑνὸς μετάλλου: δηλαδή μὲ ποιόν τρόπο ἀναμειγνύοντας ποσότητες ἀσημιοῦ διαφορετικῆς καθαρότητας (διαφόρων ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα) μποροῦμε νὰ ἐπιτύχουμε καθαρότητα τοῦ ἀσημιοῦ στὸ τελικὸ κράμα 10 1/2 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα[11] (κεφ. 116). Μολονότι στὸ χειρόγραφο δὲν γίνεται ἀναφορὰ στὶς μεθόδους ἐπαργύρωσης, εἶναι βέβαιο ὅτι τὶς γνώριζαν πολὺ καλά, ἀφοῦ τὰ "τραχέα" (εἶδος χάλκινων νομισμάτων) ἐπαργυρώνονταν γιὰ νὰ ἀποκτήσουν τὴν ὄψη ἀσημένιου νομίσματος. Ἡ μέθοδος ποὺ χρησιμοποιοῦσαν εἶναι ἄγνωστη σήμερα. Οἱ πάπυροι Λέυντεν καὶ Στοκχόλμης (307-337 μ.Χ) περιέχουν συνταγὲς μεταλλουργίας, μεταξὺ τῶν ὁποίων ὑπάρχουν καὶ μέθοδοι δοκιμασίας πολυτίμων μετάλλων. Σὲ κάποια ἀνώνυμα Βυζαντινὰ κείμενα τεχνικοῦ περιεχομένου περιλαμβάνονται μεταξὺ τῶν ἄλλων, βαφὴ σιδήρου καὶ χαλκοῦ, καὶ λαγάρισμα χρυσοῦ καὶ ἀργύρου.
Στὸ χειρόγραφο αὐτὸ, χρησιμοποιοῦνται οἱ ὅροι "ἐπιβολὴ χαλκώματος", ὅταν πρόκειται γιὰ νοθεία ἀσημιοῦ ἢ χρυσοῦ, καὶ "λογαρῖσαι"[12], ὅταν πρόκειται νὰ γίνει ὁ χρυσὸς καθαρότερος[13]. Ἐπισημαίνουμε, ὅτι γιὰ τὸν συγγραφέα τοῦ χειρογράφου μας, ὅπως καὶ γιὰ τὸν Νικ. Ραβδᾶ ὅταν χρησιμοποιεῖται ἡ λίτρα ὡς μονάδα νομίσματος καὶ ὄχι βάρους, ἰσχύει ἡ ἑξῆς ἰσοδυναμία:
1 λίτρα= 12 οὐγγιές= 72 ἑξάγια= 1728 κεράτια.
Ἐνδεικτικὰ ἀναφέρω καὶ σχολιάζω τὰ ἑξῆς προβλήματα.
Πρόβλημα κεφ. 107. (ρζ). Ἐὰν μαργαριτάρι σταγίου 1 χρήζῃ ΙΙ 7, 2 λίτραι 4 ὀγγιαὶ 5 στάγια πόσα ΙΙ χρήζοσιν ἀναλόγως;
Θεωρεῖται δεδόμενο ὅτι 1 λίτρα ἰσοδυναμεῖ μὲ 12 ὀγγιές, 1 ὀγγιὰ μὲ 6 στάγια ἢ ἑξάγια, καὶ 1 στάγιο μὲ 24 κεράτια ἢ κάρατα.
Μετατρέπει τὶς 2 λίτρες σὲ 24 ὀγγιές, προσθέτει καὶ τὶς 4 καὶ ἔχει 28 ὀγγιές. 28.6= 168, 168+5= 173 στάγια, ὁπότε 173.7= 1211 ΙΙ εἶναι τὸ ζητούμενο ποσόν.
Πρόβλημα κεφ. 110. (ρι). Πόσες λίτρες ἐπιβολὴ χαλκώματος χρειάζεται νὰ προσθέσεις ὥστε 30 λίτρες καθαρὸ ἀσήμι ὀγγιῶν 12, νὰ γίνουν ἀσήμι τὸ ὁποῖο νὰ εἶναι ἀνὰ λίτρα ὀγγιῶν 9;
Ἐξηγεῖ πὼς τὸ καθαρὸ ἀσήμι ὀνομάζεται ἀπὸ τοὺς Λατίνους καὶ φίνο καὶ εἶναι ὀγγιῶν 12, ἐνῷ τὸ φίνο καὶ τέλειο μάλαγμα (χρυσόν), εἶναι ἢ καράτων 24.
Οἱ πράξεις ποὺ κάνει εἶναι: 30.12= 360 ὀγγιές, 360/9= 40. Θὰ γίνουν λοιπὸν οἱ 30 λίτραι, 40, μετὰ τὴν ἐπιβολὴν τοῦ χαλκώματος. 40-30= 10. Ἄρα πρέπει νὰ προσθέσει 10 λίτρας χάλκωμαν.
Πρόβλημα κεφ. 111. (ρια). Ἔστω ὅτι ἔχεις χρυσὸ 100 σταγίων (κάθε στάγιον ἢ ἑξάγιον ἀντιστοιχεῖ σὲ 24 : ἢ κάρατα), καὶ θέλεις νὰ τὸ μετατρέψεις σὲ χρυσὸ ὥστε κάθε στάγιον νὰ εἶναι : 22. Πόσα στάγια ἀσήμι πρέπει νὰ προσθέσεις, καὶ πόσα στάγια χρυσὸ θὰ ἔχεις;
Ἐξηγεῖ, ὅτι στὴν περίπτωση τοῦ χρυσοῦ, δὲν προσθέτουμε χάλκωμα ἀλλὰ μόνον ἀσήμι, καὶ κάνει τὶς ἑξῆς πράξεις:
100.24= 2400 , 2400/22= 109 1/11 στάγια. 109 1/11-100= 9 1/11 στάγια ἀσήμι πρέπει νὰ προσθέσεις.
Πρόβλημα κεφ. 112. (ριβ). Ἔστω ὅτι ἔχεις 40 λίτρες ἀσήμι ὅπου ἡ κάθε λίτρα εἶναι ἀνὰ ὀγγιῶν 11 1/2. Θέλεις δέ, νὰ προσθέσεις 6 λίτρες χάλκωμα ὥστε νὰ ἔχεις 46 λίτρες. Πόσων ὀγγιῶν θὰ εἶναι ἡ κάθε μία ἀπὸ τὶς 46 λίτρες;
40.11 1/2= 460, 460/46= 10, δηλαδὴ θὰ γίνει ἡ κάθε λίτρα ἀνὰ ὀγγιῶν 10.
Πρόβλημα κεφ. 113. (ριγ). Κάποιος σοῦ δίνει ἐνέχειρο 100 στάγια χρυσὸ ἀγνώστων :. Ἐσὺ παίρνεις 5 στάγια, προσθέτεις 10 στάγια καθαρὸ χρυσό, καὶ ἔχεις ἔτσι 15 στάγια χρυσὸ : 18. Κατόπιν χάνεις τὰ ὑπόλοιπα 95 στάγια τὰ ὁποῖα σοῦ ἔμειναν ἀπὸ τὰ 100 ἀφοῦ πῆρες τὰ 5. Ζητεῖς νὰ γνωρίσεις, πόσων : ἦταν τὸ χρυσὸ ποὺ εἶχες λάβει ὡς ἐνέχειρο;
18/24= 3/4, 15.3/4= 11 1/4. Ἄρα τὰ 15 στάγια τῶν 18 ἔχουν καθαρὸ χρυσὸ 11 1/4 στάγια. 11 1/4-10= 1 1/4. Ἄρα τὰ 5 στάγια τὰ ὁποῖα ἔλαβες ἐκ τῶν 100, περιεῖχαν καθαρὸ χρυσό, 1 1/4 τοῦ σταγίου. 100.1 1/4= 125 στάγια. καὶ 125/5= 25 στάγια καθαρὸ χρυσὸ εἶχαν τὰ 100 στάγια ποὺ εἶχες δεχθεῖ ὡς ἐνέχειρο.
Πρόβλημα κεφ. 114. (ριδ). Ἔστω ὅτι ἔχεις 50 λίτρες ἀσήμι τῶν 7 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα, θέλεις δὲ νὰ προσθέσεις ἀσήμι τῶν 11 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα ὥστε νὰ ἔχεις ἀσήμι τῶν 9 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα. Πόσες λίτρες ἀσήμι χρειάζεται νὰ προσθέσεις;
Ἀκολουθεῖ τὴν ἑξῆς σειρὰ πράξεων:
9-7 = 2. Ἐνῷ δέ, μᾶς ἔχει συνηθήσει μὲ ἀναλυτικὲς περιγραφὲς τῶν μεθόδων του, τώρα θέτει αὐθαίρετα 100 λίτρες σύνολο τελικό, καὶ κατόπιν διαιρεῖ 100/2= 50 καὶ γράφει πὼς πρέπει νὰ προσθέσεις 50 λίτρες ἀσήμι τῶν 11 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα.
Μὲ τὴν σύγχρονη προσέγγιση ποὺ ἀφορᾶ σὲ ἐξισώσεις, ἂν ὀνομάσουμε χ τὶς ζητούμενες λίτρες, θὰ ἔχουμε: 50.7+χ.11= (50+χ)9, δηλαδὴ 2χ= 100, ὁπότε χ= 50. Συνεπῶς τὸ τελικὸ σύνολο τῶν λιτρῶν θὰ εἶναι βέβαια 100.
Πρόβλημα κεφ. 115. (ριε). Ἂν ἀναμείξεις ἀσήμι 40 λίτρες μὲ 7 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, 30 λίτρες μὲ 8 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, 60 λίτρες μὲ 9 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, καὶ 50 λίτρες μὲ 10 ὀγγιὲς ἀνὰ λίτρα, θὰ ἔχεις μεῖγμα μὲ ἄγνωστο ἀριθμὸ ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα. Ζητεῖται αὐτὸς ὁ ἀριθμός.
Προσθέτει κατ' ἀρχὴν τὶς λίτρες καὶ ἔχει: 40+30+60+50= 180 λίτρες. Κατόπιν : 40.7= 280, 30.8= 240, 60.9= 540, 50.10= 500, σύνολο: 1560 ὀγγιές. Διαιρεῖ τὸ 1560 μὲ τὸ 180 καὶ βρίσκει 8 2/3 ὀγγιές, δηλαδὴ 8 ὀγγιὲς καὶ 4 στάγια.
Πρόβλημα κεφ. 116. (ρις). Πόσες λίτρες ἀσήμι τῶν 8, 9, 10, 11 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα πρέπει νὰ ἑνώσεις ὥστε νὰ ἔχεις 60 λίτρες ἀσήμι τῶν 10 1/2 ὀγγιῶν ἀνὰ λίτρα;
Ἐδῶ ὁ συγγραφέας σημειώνει πὼς ἀκολουθεῖ τὴν ἴδια μέθοδο ποὺ χρησιμοποίησε σὲ προβλήματα ἑταιρείας μὲ τοὺς συντρόφους τοὺς συμμετέχοντες σὲ ἐπιχείρηση, καὶ μάλιστα τὴν πρώτη κατηγορία ἀσημίου τὴν ὀνομάζει πρῶτο σύντροφο, τὴν δεύτερη δεύτερο σύντροφο κ.λ.π.
Βρίσκει τὴν διαφορὰ 11-10 1/2= 1/2, καὶ τὶς διαφορὲς 10 1/2-8= 2 1/2, 10 1/2-9= 1 1/2, 10 1/2-10= 1/2, καὶ προσθέτει: 2 1/2+1 1/2+1/2= 4 1/2. Κατόπιν προσθέτει τὸ 1/2 τρεῖς φορές, μία γιὰ κάθε περίπτωση τῶν τριῶν πρώτων κατηγοριῶν ἀσημίου, καὶ ἔτσι ἔχει τὸν ἀριθμὸ 6 τὸν ὁποῖο θεωρεῖ μερισθή. Ὁπότε γιὰ τὴν πρώτη κατηγορία ἔχει: 60.1/2= 30, 30/6= 5 λίτρες ποὺ ἀναλογοῦν στὴν πρώτη κατηγορία ἀσημίου. Γιὰ τὴν δεύτερη καὶ τρίτη περίπτωση ἰσχύουν τὰ ἴδια. Γιὰ τὴν τέταρτη τέλος περίπτωση ἔχει: 60.4 1/2= 270, 270/6= 45 λίτρες.
Ἡ σύγκριση τῶν μεθόδων τῆς Ἑλληνικῆς Βιενναίας Μαθηματικῆς Πραγματείας μὲ αὐτὲς ποὺ χρησιμοποιοῦμε σήμερα στὴ διδασκαλία παρομοίων προβλημάτων τόσο στὴν πρωτοβάθμια ὅσο καὶ στὴ δευτεροβάθμια ἐκπαίδευση βοηθᾶ ἐκτὸς τῶν ἄλλων καὶ στὴν ἐκτίμηση τῆς διαχρονικότητας τῶν διδακτικῶν μαθηματικῶν μεθόδων[14].


[1] Τὸν 14ο καὶ 15ο αἰ. ὁ πληθυσμὸς τῆς Κωνσταντινούπολης ἦταν 30000 κάτοικοι, καὶ κατὰ τὴν ἅλωση εἶχαν ἀπομείνει περίπου οἱ μισοί. Βλ. Δ. Μόσχος, Δημογραφικὲς παρατηρήσεις γιὰ τὴν Κωνσταντινούπολη βάσει ἀναξιοποιήτων ἐκκλησιαστικῶν πηγῶν τοῦ 14ου-15ου αἰ. μ.Χ., εἰς Πρακτικὰ Α' Συνάντησης Βυζαντινολόγων τῆς Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ἱωάννινα 1999, σελ. 158.
[2] Βασιλικὴ Πέννα, Ἡ Βυζαντινὴ νομισματικὴ ἔρευνα: ἀναδρομὴ καὶ προοπτικές, εἰς Πρακτικὰ Α' Συνάντησης Βυζαντινολόγων Ἑλλάδος καὶ Κύπρου, Ἱωάννινα 1999, σελ. 90.
[3] Τὸ ἐπάγγελμα τοῦ τραπεζίτη ἦταν πολὺ σημαντικὸ στὴν Ἑλλάδα. Οἱ τραπεζίτες εἶχαν τὰ "τραπέζια" τους στὴν ὑπαίθρια ἀγορά. Βλ. Smith, Hist. Math., τόμ. II, σελ. 576. Ὁ P. Tafur διηγεῖται, ὅτι στὰ 1437-1438 μ.Χ. στὴν Κωνσταντινούπολη ὑπῆρχε μεγάλη ἐμπορικὴ κίνηση. Οἱ ξένοι ἔμπαιναν μὲ ἐξαιρετικὴ ἄνεση σ' αὐτήν, ἀλλὰ ὁ ρόλος τῶν κατοίκων της περιοριζόταν σὲ αὐτὸν τοῦ ἁπλοῦ θεατή. Βλ. Zakythinos, Crise mon., σελ. 39.
[4] Αὐτὸ τὸ ἐπάγγελμα θεωρεῖτο ὡς μία ἀπὸ τὶς μεγαλύτερες τέχνες στὴ Φλωρεντία. Τὸ 1344 μ.Χ. μάλιστα ἱδρύθηκε ἐκεῖ μία τράπεζα γιὰ τὸν σκοπὸ αὐτό. ὅ. π., σελ. 576.
[5] "Χρυσοῦ ποίησις", "Ποίησις χρυσοῦ δοκίμου", "Χαλκοῦ λεύκωσις", "Καταβαφὴ χρυσοῦ", "Περὶ τοῦ ποιῆσαι χαλκόν, ὥσπερ χρυσόν". Βλ. Collection des Anciens Alchimistes Grecs, ed. M. Berthelot, Pub. G. Steinheil, Paris 1888, σελ. 304, 305, 308, 310, τόμ. ΙΙ, σελ.336.
Βλ. Δ. Γούτα, Ἡ Ἀρχαία Ἑλλ. σκέψη στὸν Ἀραβικὸ πολιτισμό, ἐκδ. Περίπλους, Ἀθήνα 2001, σελ. 162.
[6] Βλ. Μάρω Παπαθανασίου, Ἀρχαία μεταλλοτεχνία καὶ φυσικὲς θεωρίες, ὡς βάσεις τῆς ἑλληνικῆς χημείας, Ἡ ἱστορικὴ ἐξέλιξη τῆς χημείας στὴν Ἑλλάδα, Πρακτ. Πανελλ. Συμπ. ΕΕΧ, Ἀθήνα 1996, σελ. 35-53 (σελ. 46).
[7] Βλ. Δ. Γούτα, Ἡ Ἀρχαία Ἑλλ. σκέψη στὸν Ἀραβικὸ πολιτισμό, ἐκδ. Περίπλους, Ἀθήνα 2001, σελ. 162.
[8] Vogel, Fibonacci, σελ. 606.
[9] Loria, Ἱστ. Μαθ., τόμ. II, σελ. 352.
[10] Smith., Hist. Math., τόμ. II, σελ. 588.
[11] Βλ. Hendy, Cat. Byz. coins, σελ. 127. Βλ. CAAG, Berthelot-Ruelle, τ. II, σελ. 321-393, Les Alchimistes Grecs, τ. I Pap. de Leyde, Pap. de Stockholm, ed. R. Malleux, Les belles letters, Paris 1990. Ὁ Παρισινὸς κώδιξ 2327 περιέχει ἐπίσης ἀνώνυμες τεχνικὲς συνταγὲς τῆς χρυσοτεχνίας. Bλ. Μαρία Παπαθανασίου, "Ἀλχημεία ἢ Χημικὴ Τεχνολογία", Ἴνδικτος 7, (χειμώνας 1997), 97-119. Τῆς ἰδίας, Χρυσογραφία-Ἡ ἀδιάσπαστη συνέχεια τῆς τεχνικῆς της, Πρακτικὰ 1ου διεθνοῦς Συνεδρίου Ἀρχαίας Ἑλληνικῆς Τεχνολογίας, Θεσσαλονίκη 1997, σελ. 331-332.
[12] "Περὶ τοῦ λαγαρῖσαι τὸ χρυσίον". Βλ. Collection des Anciens Alchimistes Grecs, ed. M. Berthelot, Pub. G. Steinheil, Paris 1888, τόμ. ΙΙ, σελ. 322, 323.
[13] Βλ. Kουκουλέ, Βυζ. βίος, τόμ.II, σελ. 228, 237.
[14] Γιὰ τὰ προβλήματα τῶν κεφαλαίων 115 καὶ 116 βλέπε σὲ Ἀριθμητικὴ Π. Τόγκα- Θ. Πασσᾶ- Ν. Νικολάου, ἐκδ. ΟΕΣΒ, Ἀθῆναι 1959, σελ. 334, 335, 336.

Μαρία Χάλκου – Διδάκτωρ Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Αθηνών
http://chalkou.blogspot.com